3o Γενικό Λύκειο Λαμίας (Μουστάκειο)

Παρασκευή, 24 Νοεμβρίου 2017

Η λύση από τον Πέρελμαν της εικασίας Πουανκαρέ

Υποβλήθηκε από 3lykeiolamias στις .
Εκτυπώσιμη μορφή

Κατηγορία: 

Η λύση από τον Πέρελεμαν της Εικασίας του Πουανκαρέ το σημαντικότερο επίτευγμα κατά το 2006 σύμφωνα με το Science Πηγή: BBC, Δίκτυο, 22 Δεκεμβρίου 2006.

Η απόδειξη από τον αινιγματικό ρώσο μαθηματικό Perelman Grigory, στην εδώ και εκατό χρόνια άλυτη Εικασία του Πουανκαρέ, προκάλεσε στον επιστημονικό κόσμο μια αίσθηση και όχι μόνο λόγω της δυσκολίας της εργασίας. Τον Αύγουστο του 2006, ο ρώσος Perelman έγινε το πρώτο πρόσωπο που αρνήθηκε το μετάλλιο Fields, την υψηλότερη τιμή στα μαθηματικά. Φαίνεται επίσης πιθανόν να αρνηθεί ένα βραβείο 1.000.000 δολαρίων που του προσφέρθηκε από ένα αμερικανικό Ίδρυμα Μαθηματικών, επειδή δεν θεωρεί τους κριτές άξιους να κρίνουν τον ίδιο. Ο Perelman λέγεται ότι περιφρονεί την αυτοδιαφήμιση και περιγράφεται ότι απομονώνεται από την υπόλοιπη μαθηματική κοινότητα. Κι όπως λέει ένας συνάδελφος του δεν ενδιαφέρεται για χρήματα. Το μεγάλο βραβείο για αυτόν ήταν να αποδείξει το θεώρημα.
Ο 40-χρονος Perelman φοίτησε σε σχολείο της Αγίας Πετρούπολης με ειδίκευση στα Μαθηματικά και τη Φυσική και σε ηλικία 16 ετών κέρδισε το χρυσό μετάλλιο στην Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα το 1982. Αφότου ολοκλήρωσε το διδακτορικό στο Πανεπιστήμιο της Αγίας Πετρούπολης και εργάστηκε για λίγο στη Ρωσία, μετακόμισε στις ΗΠΑ. Πριν από περίπου δέκα χρόνια επέστρεψε στη Ρωσία, για να να εργαστεί στην απόδειξή του για το σχήμα του Σύμπαντος. Καταδέχτηκε πάντως να περιγράψει την απόδειξη το 2003 στο Πανεπιστήμιο Πρίνστον.
Σε μια σπάνια συνέντευξη, ο Perelman είπε σο περιοδικό New Yorker : "Δεν μου είναι καθαρό ποια ήταν η συμβολή που έκανα." Ο απομονωμένος Δρ Perelman άφησε το Ίδρυμα Steklov τον Ιανουάριο, και τελευταία ειπώθηκε πως είναι άνεργος και ζει με τη μητέρα του στο διαμέρισμά της στην Αγία Πετρούπολη. Αλλά η εργασία του - σχετικά με την Εικασία που διατύπωσε το 1904 ο Γάλλος μαθηματικός, φυσικός και φιλόσοφος Ζιλ Ανρί Πουανκαρέ σχετικά με τα σχήματα που είναι δυνατόν να έχει το Σύμπαν - έχει θέσει τον χώρο των Μαθηματικών σε ενθουσιασμό - αλλά υπήρξε και μια διαμάχη. Ο Terence Tao, καθηγητής των μαθηματικών στο πανεπιστήμιο της Καλιφόρνιας στο Λος Άντζελες, αποκαλεί το αποτέλεσμα του Perelman σαν το "καλύτερο κομμάτι των μαθηματικών που έχουμε δει τα τελευταία 10 χρόνια". Ο Timofey Shilkin, συνάδελφος του Perelman στο Ίδρυμα Μαθηματικών Steklov στην Αγία Πετρούπολη, λέει: "Αξίζει σίγουρα το μετάλλιο Fields - αυτή είναι η προσωπική μου άποψη. Είμαι απολύτως βέβαιος ότι είναι μεγαλοφυΐα." Και πρόσθεσε: "Φοβούμαι ότι είναι ένα άτομο πολύ εσωστρεφής. Ξέρουμε πολύ λίγα πράγματα για τον ίδιο. Ξέρω μόνο ότι είναι άριστος μαθηματικός. Τον συνάντησα όταν ήταν μέλος της ομάδας μας και οι επαφές μας γίνονταν περίπου μια φορά την εβδομάδα, αλλά κάναμε πολύ σύντομες μόνο συζητήσεις".

Για αρκετά χρόνια εργάστηκε, ως επί το πλείστον, μόνο πάνω στην Εικασία Πουανκαρέ. Όλες οι αποδείξεις που είχαν προταθεί ως σήμερα είχαν αποδειχθεί ψευδείς. Έπειτα από οκτώ χρόνια προσπαθειών, ο Perelman κατέληξε το 2002 σε μια απόδειξη 473 σελίδων στην οποία οι συνάδελφοί του δεν κατάφεραν να εντοπίσουν λάθος. Επειδή ο Perelman έχει έρθει σε διάσταση με τους υπόλοιπους μαθηματικούς που ελέγχουν τα περιοδικά, γι αυτό και δεν την έστειλε προς δημοσίευση σε ένα από τα έγκυρα μαθηματικά περιοδικά. Μια δημοσίευση σε αυτά θα ήταν αδύνατη αφ' ενός διότι οι εκδότες δε θα τη δημοσίευαν, αφ' ετέρου διότι ο ίδιος δεν ήθελε να καταστήσει κριτές του έργου του ανθρώπους τους οποίους (υπεροπτικά ίσως) θεωρούσε κατώτερούς του. Οπότε χρησιμοποίησε το Διαδίκτυο και η σημαντική μελέτη του δεν έμεινε άγνωστη. Μάλιστα δημοσίευσε μόνο τα βασικά σημεία της μελέτης του, χωρίς πλήρη και λεπτομερή απόδειξη. Πήρε 4 χρόνια δουλειά στους υπολοίπους να κατανοήσουν και να ασχοληθούν με την απόδειξή του χωρίς να βρουν λάθος.

Η Εικασία Πουανκαρέ είναι ένα κεντρικό ζήτημα στην τοπολογία, τη μελέτη των γεωμετρικών ιδιοτήτων των αντικειμένων που δεν αλλάζουν όταν τεντώνονται, διαστρεβλώνονται ή συρρικνώνονται. Η επιφάνεια της Γης περιγράφεται ως δισδιάστατη σφαίρα από την τοπολογία. Εάν κάποιος την περικύκλωνε με ένα λάσο, θα μπορούσε να την αναγκάσει να περιοριστεί σε ένα σημείο. Στην επιφάνεια του ντόνατς, εντούτοις, ένα λάσο που θα περνούσε μέσα από την τρύπα του στο κέντρο, δεν θα μπορούσε να το περιορίσει σε ένα σημείο χωρίς να κοπεί η επιφάνεια. Για παράδειγμα η Εικασία του Πουανκαρέ καθορίζει ποια στερεά σώματα (ή πολλαπλότητες σε αφηρημένους μαθηματικούς χώρους άνω των τριών διαστάσεων) είναι ισοδύναμα, από τοπολογική άποψη με μια σφαίρα και ποια όχι. Π.χ. ένας κύβος από πλαστελίνη είναι ισοδύναμος με σφαίρα, αφού μπορούμε να τον πλάσουμε σαν σφαίρα, ενώ ένα ντόνατς δεν είναι, γιατί έχει μια τρύπα στη μέση.

Φαντασθείτε ότι έχετε ένα λάστιχο, ένα μήλο και ένα ντόνατς με τρύπα στη μέση. Αν τραβήξετε το λάστιχο και το τοποθετήσετε περιμετρικά γύρω από το μήλο, θα μπορείτε να μετακινήσετε το λάστιχο από τον «Ισημερινό» στον «Πόλο» του μήλου, χωρίς να σκίσετε το λάστιχο και χωρίς να εγκαταλείψετε την επιφάνεια του μήλου. Αν, όμως, το λάστιχο τοποθετηθεί πάνω στην επιφάνεια του ντόνατς, τότε δεν υπάρχει τρόπος να μετακινήσουμε το λάστιχο σε όλη την επιφάνεια του ντόνατς, χωρίς να το σκίσουμε ή το ένα ή το άλλο. Ο Πουανκαρέ υπέθεσε ότι κάτι ανάλογο συμβαίνει και στον τετραδιάστατο χώρο, ενώ σύγχρονοι Μαθηματικοί απέδειξαν ότι κάτι τέτοιο συμβαίνει και σε χώρο περισσότερων των τεσσάρων διαστάσεων.

O Πουανκαρέ χαρακτηρίσθηκε ως «Ο Τελευταίος Αναγεννησιακός Άνθρωπος», ένας Μαθηματικός που αισθανόταν άνετα σε κάθε τομέα των Μαθηματικών, όπως την ανάλυση, την άλγεβρα, την τοπολογία, την αστρονομία και τη θεωρητική φυσική. Ο Γάλλος Μαθηματικός ήταν μεγάλος οραματιστής, που πρώτος εξέφρασε τη βασική αρχή της Θεωρίας του Χάους, ότι δηλαδή «μικρές διαφορές στις αρχικές συνθήκες προκαλούν μεγάλες διαφορές στο τελικό αποτέλεσμα». Έλεγχος της εργασίας Από το 19ο αιώνα, οι μαθηματικοί ξέρουν ότι η σφαίρα είναι το μόνο δισδιάστατο αντικείμενο με αυτήν την ιδιότητα, αλλά ήταν αβέβαιοι για τα αντικείμενα με περισσότερες διαστάσεις. Η Εικασία Πουανκαρέ λέει ότι μια τρισδιάστατη σφαίρα είναι ο μόνος περιβαλλόμενος τρισδιάστατος χώρος χωρίς οπές. Την απόδειξη της Εικασίας την απέφευγαν οι μαθηματικοί έως ότου ταχυδρόμησε ο Perelman την εργασία του στον ιστοχώρο arXiv.org. Ο ιστοχώρος αυτός είναι ένας κεντρικός υπολογιστής, όπου οι ερευνητές ανεβάζουν τις εργασίες του για μια άτυπη ανατροφοδότηση προτού να τα υποβάλουν σε ένα επιστημονικό περιοδικό. Η φιλονικία του όμως με τη μαθηματική κοινότητα απειλεί να επισκιάσει το επίτευγμα του Perelman.

Ο ρώσος ανέπτυξε έναν τρόπο για να απομακρύνει ένα εμπόδιο που υπήρχε για τη λύση του προβλήματος. Και μετά ήρθε η σειρά των άλλων να ελέγξουν την απόδειξή του. Και σ' αυτό το στάδιο της διαδικασίας - όταν οι μαθηματικοί έσκυψαν πάνω από την εργασία του Perelman για να αξιολογήσουν την ακρίβειά του - άρχισε να ανέρχεται στην επιφάνεια ένα πολύ κακό συναίσθημα. "Πλήρης απόδειξη" Το 2005, μια κινέζικη ομάδα από τους Huai-Dong Cao και Xi-Ping Zhu δημοσίευσαν μια εργασία, που όπως ισχυρίστηκαν ήταν "η πρώτη εξήγηση της πλήρους απόδειξης της Εικασίας του Πουνκαρέ". Οι Cao και Zhu πήραν την εντολή να τσεκάρουν την απόδειξη του Perelman από τον μέντορα τους Shing-Tung Yau έναν κινέζο καθηγητή των μαθηματικών στο πανεπιστήμιο του Χάρβαρντ. Αμέσως μόλις δημοσιεύθηκε η εργασία του Cao-Zhu, ο καθηγητής Yau έκανε μια ομιλία στην οποία είπε: "Στην εργασία του Perelman, πολλές βασικές ιδέες των αποδείξεων είναι επιγραμματικές αλλά οι πλήρεις λεπτομέρειες των αποδείξεων συχνά λείπουν." Κι αυτό έσυρε την οργή των άλλων στο χώρο, που είπαν ότι η προβολή του Yau της εργασίας των προστατευόμενων του πήγε πάρα πολύ μακριά. Εντούτοις, μιλώντας στην εφημερίδα New York Times τον Οκτώβριο του 2006, ο καθηγητής Yau αρνήθηκε ότι είπε ότι υπήρξαν χάσματα στην εργασία του Perelman.

Το περιοδικό Science κατονόμασε επίσης και κάποια "επιτεύγματα" του έτους, όπως το σκάνδαλο που περιλαμβάνει το νοτιοκορεάτη πρωτοπόρο στις κλωνοποιήσεις Hwang Woo-suk, που είχε μιλήσει ότι έκανε παραγωγή κυττάρων από ένα κλωνοποιημένο ανθρώπινο έμβρυο και τελικά βρέθηκε ότι το είχε επινοήσει.

Οι σημαντικές ανακαλύψεις κατά το περιοδικό Science του 2006 :

  1. Η Εικασία του Πουανκαρέ. Ο απομονωμένος ρώσος μαθηματικός Grigory Perelman έλυσε προφανώς το δύσκολο μαθηματικό πρόβλημα.
  2. Η εξόρυξη του απολιθωμένου DNA. Ερευνητές χρησιμοποίησαν νέες τεχνικές για να τοποθετήσουν διαδοχικά περισσότερους ένα εκατομμύριο βάσεις του πυρηνικού DNA από ένα Νεάντερταλ ηλικίας 38.000 ετών. Η έρευνα έδειξε ότι ο σύγχρονος άνθρωπος διαχωρίστηκε από τον άνθρωπο του Νεάντερταλ πριν από 450.000 χρόνια.
  3. Ελάττωση του πάχους του πάγου. Οι ειδικοί στους πάγους ανακάλυψαν ότι τα δύο μεγαλύτερα στρώματα του πάγου έχαναν πράγματι νερό, που χυνόταν στους ωκεανούς - με έναν επιταχυνόμενο ρυθμό.
  4. Από τη θάλασσα στο έδαφος. Προέκυψαν λεπτομέρειες για ένα απολίθωμα ψαριού που χρονολογήθηκε 375 εκατομμυρίων ετών, και που καλύπτει ένα εξελικτικό κενό μεταξύ των πλασμάτων της θάλασσας και των χερσαίων ζώων. Το ψάρι, που ονομάζεται Tiktaalik roseae, έχει εμφάνιση που παραπέμπει σε κροκόδειλο ενώ είχε πτερύγια που αρχίζουν να μοιάζουν με πόδια.
  5. Το τέλειο καμουφλάζ. Μια επιστημονική ομάδα έφτιαξε μια συσκευή με μεταϋλικά, που κατέστησε ένα αντικείμενο αόρατο στα μικροκύματα.
  6. Ακτίνα ελπίδας. Κλινικές δοκιμές παρουσιάζουν το φάρμακο ranizumab που βελτιώνεται την όραση περίπου κατά το ένα τρίτο των ασθενών με εκφυλισμό.
  7. Ο δρόμος προς την διαφοροποίηση. Μελέτες πάνω στη μύγα των φρούτων Drosophila και στις πεταλούδες μας βοήθησαν να κατανοήσουμε για το πώς μικρές γενετικές αλλαγές στα είδη συσσωρεύονται και οδηγούν στην εμφάνιση νέων ειδών
  8. Πέρα από το φράγμα του φωτός. Νέες τεχνικές μικροσκόπησης (STED και PALM) επέτρεψαν στους βιολόγους να πάρουν μια σαφέστερη άποψη της λεπτής δομής των κυττάρων και των πρωτεϊνών, ξεπερνώντας τους περιορισμούς των συμβατικών μικροσκοπίων.
  9. Η διατήρηση της μνήμης. Επιστήμονες της νευρολογίας πρόσφεραν νέες ιδέες για το πώς καταγράφει ο εγκέφαλος τις αναμνήσεις μέσω της μακρόχρονης ενδυνάμωσης (Long Term Potentiation, LTP). 10. Μικρά μόρια. Ερευνητές ανακάλυψαν μια νέα κατηγορία μικρών μορίων RNA (piRNAs) που αποκαλύφθηκε ότι παίζουν ρόλο στην ενεργοποίηση ή την καταστολή πολλών γονιδίων, δημιουργώντας ελπίδες για νέες γονιδιακές θεραπείες.